Giáo án Toán 11 Chân trời sáng tạo
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1: GÓC LƯỢNG GIÁC (1 TIẾT)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
- Nhận biết các khái niệm cơ bản về góc lượng giác: góc lượng giác, số đo
của góc lượng giác, hệ thức Chasles cho các góc lượng giác, đường tròn
lượng giác.
- Biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác.
- Đổi số đo góc từ độ sang radian và ngược lại.
2. Năng lực
Năng lực chung:
- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
Năng lực riêng:
- Tư duy và lập luận toán học, giải quyết vấn đề toán học: nhận biết và thể hiện
được các khái niệm cơ bản của góc lượng giác, sử dụng hệ thức Chales, biểu
diễn các góc lượng giác.
- Mô hình hóa toán học: Vận dụng góc lượng giác trong các mô hình bài toán
thực tế đơn giản.
- Giải quyết vấn đề toán học,
- Giao tiếp toán học.
- Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
3. Phẩm chất

- Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng
nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
- Dựa vào hình ảnh trực quan về một chuyển động quay của bánh lái tàu để giúp HS
có được hình dung ban đầu về nhu cầu sử dụng góc lượng giác để mô tả chuyển động
quay.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS đưa ra được câu trả lời.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu

- GV gợi mở:
+ Xác định điểm đầu, điểm cuối của chuyển động, xác định số vòng quay của chuyển
động.
+ Từ đó so sánh sự giống và khác nhau về điểm đầu, điểm cuối, chiều chuyển động,
số vòng quay.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi
hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Dự kiến câu trả lời
Các chuyển động có cùng điểm đầu là A và điểm cuối là B, mỗi chuyển động quay
theo một chiều cố định, tuy nhiên số vòng quay và chiều quay không như nhau:
 Trong trường hợp a , bánh lái quay ngược chiều kim đồng hồ từ A đến B sau đó
1

quay thêm một vòng để gặp B lần thứ 2 (quay ngược chiều kim đồng hồ 1 6
vòng).
 Trong trường hợp b , bánh lái quay cùng chiều kim đồng hồ từ A đến B, gặp B
5

đúng 1 lần (quay cùng chiều kim đồng hồ 6 vòng).
 Trong trường hợp c , bánh lái quay ngược chiều kim đồng hồ từ A đến B, gặp B
1

đúng 1 lần (quay ngược chiều kim đồng hồ 6 vòng)
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS
vào bài học mới “Chuyển động quay của một điểm trên bánh lái từ A đến B tương ứng
với chuyển động quay của một thanh bánh lái từ vị trí đầu OA đến vị trí cuối OB . Tuy
AOB không mô tả được chiều quay và số vòng quay của các
nhiên góc hình học ^

chuyển động này. Để mô tả được các yếu tố này trong chuyển động quay, người ta sử
dụng góc lượng giác. Bài học hôm nay chúng ta cùng đi tìm hiểu các khái niệm cơ
bản về góc lượng giác”.

Bài 1: Góc lượng giác.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Góc lượng giác
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết và thể hiện được khái niệm góc lượng giác, số đo góc lượng giác.
- HS hiểu, phát biểu và vận dụng được hệ thức Chasles.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các hoạt động khám phá, thực hành, vận dụng, đọc hiểu ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi, HS xác định được số đo góc lượng giác, vận dụng hệ thức Chasles.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: 1. Góc lượng giác
Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu Khái

a) Khái niệm góc lượng giác

niệm góc lượng giác

HĐKP 1:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm
đôi, hoàn thành HĐKP 1.

a) Cứ mỗi giây, thanh OM quay được 60∘ nên
mỗi giây góc quay được cộng thêm 60∘.
b) Cứ mỗi giây, thanh OM quay được −60∘ nên
mỗi giây góc quay được cộng thêm −60∘.
(Bảng dưới)
- GV giới thiệu về chuyển động
quay của tia Om quanh gốc O,

- Quy ước: Chiều quay ngược chiều kim đồng

tính từ vị trí ban đầu sẽ có sự quy

hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim

ước về chiều âm và chiều dương.

đồng hồ là chiều âm.

+ Ví dụ khi quay Om theo chiều
1

dương 4 vòng thì ta nói Om quay
1

được góc 9 0 o; theo chiều âm 4
vòng thì ta nói Om quay được
góc −9 0 o.

Kết luận

- GV giới thiệu về góc lượng giác - Cho hai tia Oa ,Ob .
và số đo của một góc lượng giác.

+ Nếu một tia Om quay quanh gốc O của nó

+ Nhấn mạnh: một góc lượng

theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa

giác cần xác định được tia đầu,

và dừng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một

tia cuối và chiều quay.

góc lượng giác có tia đầu Oa ,tia cuối Ob, kí

+ Số đo góc lượng giác có thể âm hiệu (Oa ,Ob ).
hoặc dương phụ thuộc chiều

- Khi tia Om quay một góc α , ta nói số đo của

quay; có thể lớn hoặc bé tùy vào

góc lượng giác (Oa ,Ob) bằng α ,kí hiệu

số vòng quay của tia cuối.

sđ ( Oa, Ob )=α .

- GV đặt câu hỏi:

Chú ý: Với hai tia Oa và Ob cho trước:

+ Với hai tia Oa và Ob cho trước + Có vô số góc lượng giác có tia đầu là Oa và
có bao nhiêu góc lượng giác có

tia cuối Ob.

tia đầu là Oa và tia cuối Ob?

+ Kí hiệu: (Oa,Ob).

(Có vô số).

Ví dụ 1 (SGK -tr.8)

- GV cho HS quan sát, giải thích
Ví dụ 1.

Nhận xét:

+ Xác định chiều, tia đầu và tia

Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu

cuối của góc lượng giác.

Oa và tia cuối Ob sai khác một bội nguyên của

- GV đặt câu hỏi:

∘
360 .

+ Quan sát các hình 5a, 5b, 5c,

sđ ( Oa, Ob )=α + k 360 (k ∈ Z )

5d; khi các góc lượng giác đều

Hoặc ( Oa ,Ob )=αo + k 360 ∘ ( k ∈ Z ) .

có cùng tia đầu và tia cuối, thì số

Với α o là số đo của một góc lượng giác bất kì

đo góc lượng giác của chúng có

có tia đầu Oa và tia cưới Ob.

mối quan hệ gì?

Ví dụ:

o

∘

(Sai khác một bội nguyên của
o

360 ¿

sđ ( Oa, Ob )=90o +k 360o ( k ∈ Z)

+ GV lưu ý: để thể hiện sự sai
khác một bội nguyên ta sử dụng
k ∈ Z ; giá trị k có thể âm hoặc

Thực hành 1:

dương.
- HS thực hiện Thực hành 1 theo
nhóm đôi.

a) 60∘;
b) 60∘ +2 ⋅360∘=780∘;
c) −300∘.
Vận dụng 1:
1

Kim phút quay 2 4 vòng theo chiều âm nên số
1

- HS thực hiện Vận dụng 1. GV

∘

∘

đo góc lượng giác là α =−2 4 ⋅360 =−810 .

gợi ý:

+ Kim phút quay theo chiều nào? b) Hệ thức Chasles
HĐKP 2:
+ Kim phút quay từ vị trí 0 giờ
đến 2h15 thì quay được bao
nhiêu vòng?
Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu hệ thức
Chasles
- HS thực hiện HĐKP 2.
a) Số đo góc lượng giác (Oa ,Ob ) trong hình là
∘
135 .

Số đo góc lượng giác (Ob ,Oc) trong hình là
∘
−80 .

∘
∘
∘
^
Dựa vào hình, ta có aOc=135
−80 =55 .

Trong hình, góc lượng giác (Oa ,Oc) tương ứng
với chuyển động quay theo chiều dương từ Oa
đến Oc , sau đó quay thêm 1 vòng. Do đó số đo
góc lượng giác (Oa ,Oc) trong hình là
55 +360 =415 .
∘

∘

∘

b) Như vậy đối với ba góc trong hình, ta có
tổng số đo góc lượng giác (Oa ,Ob) và (Ob ,Oc)
chênh lệch với số đo góc lượng giác (Oa ,Oc) là
một số nguyên lần 360∘.

Kết luận
- Hệ thức Chasles: Với ba tia Oa ,Ob ,Oc bất kì,
ta có
- Từ đó GV giới thiệu về hệ thức

sđ (Oa , Ob)+ sđ (Ob , Oc)=sđ (Oa ,Oc)+k 360 (k ∈ Z )

Chasles với ba tia Oa, Ob, Oc bất

Vận dụng 2:

∘

kì
- HS thảo luận nhóm đôi, thực
hiện Vận dụng 2. GV gợi ý:
+ Tính số đo các góc
^
MON , ^
MOP , ^
PON .

+ Để tính được ( Ox , ON ) ta có thể
sử dụng định lí nào với ba tia
Ox , OM , ON ?

Vì chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều
nhau nên
1
^
MON = ^
MOP= ⋅ 360∘=120∘ .  
3

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

Do đó số đo các góc lượng giác (OM , ON ) và

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,

(OM , OP) được vẽ trong hình lần lượt là 120∘ và

tiếp nhận kiến thức, hoàn thành

∘
−120 .

các yêu cầu, thảo luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ
sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
GV tổng quát lưu ý lại kiến thức

trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép Ta có:
đầy đủ vào vở.

∘

(Ox , ON ) ¿(Ox , OM )+(OM , ON )+ k 360 ( k ∈ Z)
∘
∘
¿
¿ 70 +k 360 (k ∈ Z ).
∘

(Ox , OP) ¿(Ox , OM )+(OM , OP)+ k 360 ( k ∈ Z )
∘
∘
¿
¿−170 +k 360 (k ∈ Z) .

HĐKP 1
a)
Thời gian t (giây)

1

Góc quay α

60

2
∘

3

120

∘

180

4
∘

5

240

∘

300

6
∘

∘

360

b)
Thời gian
t (giây)

Góc quay
α

1

−60

2

∘

−120

3

∘

−180

4

∘

−240

5

∘

6

∘

−300

−360

∘

Hoạt động 2: Đơn vị radian
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết đơn vị radian.
- HS chuyển đổi số đo góc lượng giác từ đơn vị radian sang đơn vị độ và ngược lại.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý
nghe giảng, thực hiện các hoạt động của mục 2.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi, HS đổi được đơn vị đo theo yêu cầu.
d) Tổ chức thực hiện:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

2. Đơn vị radian

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm

HĐKP 3:

đôi, hoàn thành HĐKP 3.

AOB không phụ thuộc vào đường tròn
Số đo ^

- Từ đó GV giới thiệu về đơn vị đo

được vẽ và bằng khoảng 57∘.

radian.

Kết luận
Trên đường tròn bán kính R tùy ý, góc ở tâm
chắn một cung có độ dài đúng bằng R được

- GV gợi mở

gọi là một góc có số đo 1 radian.

+ Một góc ở tâm có số đo α rad thì

Viết tắt: 1 rad.

chắn một cung có độ dài bao

∘

a=

nhiêu?

(

πa
180 α
rad và α rad=
180
π

)

∘

(Độ dài: αR ¿
+ GV hướng dẫn tính góc bẹt. Từ
đó có mối liên hệ 180o =π rad .
+ Vậy có mối liên hệ giữa
∘

1=

( )

π
180
rad và ngược lại1 rad=
180
π

∘

.

Ví dụ 2 (SGK -tr.10)

- GV cho HS nêu công thức tổng

Thực hành 2:

quát đổi độ sang rad và ngược lại.
- HS quan sát Ví dụ 2.

Đơn vị độ

Đơn vị rad

- HS luyện tập làm Thực hành 2.

0o

0 rad

30o

π
rad
6

o

π
rad
4

60o

π
rad
3

90 o

π
rad
2

120o

2π
rad
3

135

o

3π
rad
4

150

o

5π
rad
6

- GV cho HS chú ý về cách viết
đơn vị rad và công thức số đo tổng

45

quát theo rad.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời
câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ
sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng

180o

π rad

Chú ý:
π

+ α rad có thể được viết là α .Ví dụ: 2 rad
π

tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ được viết là .
2
vào vở.
+ ( Oa ,Ob )=α+ k 2 π (k ∈ Z )
Trong đó α là số đo theo radian của một góc
lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối
Ob.
Hoạt động 3: Đường tròn lượng giác
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết và thể hiện được khái niệm đường tròn lượng giác.
- HS biểu diễn góc lượng giác với số đo cho trước trên đường tròn lượng giác.

b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý
nghe giảng, thực hiện các hoạt động của mục 3.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi, HS biểu diễn được góc lượng giác.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

3. Đường tròn lượng giác

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, HĐKP 4:
hoàn thành HĐKP 4

π

a) ( OA , OB ) = 2 +k 2 π rad , k ∈ Z
b) A' (−1 ;0) và B' (0 ;−1).

Kết luận
- GV giới thiệu về khái niệm đường
tròn lượng giác.
+ Nhấn mạnh: đường tròn lượng giác
tâm O, bán kính bằng 1; xác định
chiều âm, chiều dương.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường
tròn tâm O bán kính bằng 1. Trên đường
tròn này, chọn điểm A(1; 0) làm gốc, chiều
dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ
và chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng
hồ. Đường tròn cùng với gốc và chiều như
trên được gọi là đường tròn lượng giác.

- GV đặt câu hỏi:
+ Nếu cho góc α bất kì, có bao nhiêu

- Trên đường tròn lượng giác, ta xác định

điểm M trên đường tròn lượng giác

được duy nhất một điểm M sao cho số đo

để sđ ( OA ;OM )=α ?

góc lượng giác ( OA , OM )=α .Khi đó điểm M

(Xác định duy nhất điểm M).

gọi là điểm biểu diễn của góc có số đo α

- GV giới thiệu về các góc phần tư.

trên đường tròn lượng giác.
Chú ý:
Các góc phần tư, kí hiệu I, II, III, IV

- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ
3
+ Để biểu diễn góc lượng giác: ta cần
xác định góc đó có là chứa bội của
o
360 hoặc 2 π hay không; rồi xác định

Ví dụ 3 (SGK -tr.11)

chiều quay của góc; xác định điểm

Thực hành 3

biểu diễn thỏa mãn góc đã cho.

a) Ta có −1485∘=−45∘−4 ⋅ 360∘.

- HS thực hiện Thực hành 3.

Vậy điểm biễu diễn góc lượng giác có số

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

đo −1485∘ là điểm D trên phần đường tròn

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp

lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao

nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu

hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

∘
cho ^
AOD=45 .

- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ
vào vở.

19 π 3 π
b) Ta có 4 = 4 + 4 π

Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số
19 π

đo 4 là điểm E trên phần đường tròn
lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho
3π
^
AOE= .
4

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập Bài 1, 2, 3, 4, 5, 7
(SGK -tr12+13) và câu hỏi TN.
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS.

d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổ chức cho HS trả lời các câu hỏi TN nhanh
4π

Câu 1. Đổi 5 rad sang độ bằng
A. 11 4 o
B. 11 4 o
C. 10 4 o
D. 14 1o
Câu 2. Trong khoảng thời gian từ 3 giờ đến 6 giờ 30 phút, kim phút quét một góc
lượng giác bao nhiêu độ?
A. −1060o
B. −1160o
C. −1260o
D. −1360o
Câu 3. Cho số đo các góc lượng giác: (Oa ,Ob)=120o ,(Ob , Oc)=75o .Số đo góc lượng
giác (Oa ,Oc) bằng:
A. −135o
B. −145o
C. −155o
D. −165o
Câu 4. Cho bốn góc lượng giác (trên cùng một đường
π
10 π
−5 π
−7 π
tròn): α = 3 , β= 3 , γ = 3 , δ = 3 . Các góc lượng giác có điểm biểu diễn trùng

nhau là
A. α và β
B. α và γ
C. α và δ

D. β và δ
π

Câu 5. Cho góc lượng giác (OA; OB) có số đo bằng  12 .Trong các số sau đây, số nào
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác (OA;
OB)?
13 π

A. 12

−25 π

B. 12
49 π

C. 12

19 π

D. 12

- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện Bài 1, 2, 3, 4, 5, 7 (SGK -tr.12+13).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn
thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi
sai.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các học sinh, ghi nhận và tuyên
dương.
Kết quả:
Đáp án trắc nghiệm
1

2

3

4

5

B

C

D

B

C

Bài 1.
19 π
∘
a) 38 = 90 rad ;
23 π
∘
b) −115 = 36 rad

()

0

3
1
= rad .
c)
π
60

Bài 2.
π

∘

a) 12 rad=15 ,

( )

b) −5=

∘

900
∘
≈ 286 , 479
π

13 π
∘
c) 9 =260 .

Bài 3.
a) Tacó

−17 π π
= −3.2 π .
3
3

Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo

−17 π
là điểm M trên phần đường tròn
3

π
AOM= .
lượng giác thuộc góc phần tư thứ I sao cho ^
3

13 π −3 π
13 π
b) Ta có 4 = 4 +2 ⋅2 π . Vậy điễm biểu diễn góc lượng giác có số đo 4 là điểm N
3π
AON= .
trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III sao cho ^
4

c) Ta có −765∘=−45∘−2 ⋅ 360∘.
Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo-765 là điểm P trên phần đường tròn
∘
lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho ^
AOP=45 .

Bài 4.

(

)

31 π 3 π
31 π 10 π
31 π −25 π
Ta có: 7 = 7 +4 π ; 7 = 7 +3 π ; 7 = 7 + 8 π .
31 π

3π

Do đó 7 có cùng điểm biểu diễn với 7 và

−25 π
.
7

Bài 5.
(OA , OM )=120∘ +k 360∘ (k ∈ Z );(OA ,ON )=−75∘ +k 360∘ (k ∈ Z ).

Bài 7.
a)

b)

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
a) Mục tiêu:
- Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập.
c) Sản phẩm: Kết quả thực hiện các bài tập.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập 6, 8, 9 (SGK -tr.12).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
- Bài tập: đại diện HS trình bày kết quả, các HS khác theo dõi, đưa ý kiến.

Bước 4: Kết luận, nhận định
- GV nhận xét, đánh giá, đưa ra đáp án đúng, chú ý các lỗi sai của học sinh hay mắc
phải.
Gợi ý đáp án:
Bài 6.
(Ox , ON )=(Ox , OM )+(OM ,ON )+ k 360 ∘(k ∈ Z)
2
¿ 45 ∘− ⋅360∘+ k 360∘ (k ∈ Z)
5
∘
∘
¿−99 + k 360 ( k ∈ Z).

Bài 8.
π
2π
−π
2π
+k
(k ∈ Z ) và
+k
(k ∈ Z ).
2
3
6
3

Bài 9.
1

π

π

Ta có α = 60 ⋅ 180 = 10800 ( rad).
Vì mỗi radian chắn một cung bằng bán kính trái đất R ≈ 6371 km, nên α chắn cung có độ
π

dài 10800 ⋅6371 ≈1,85 (km) .
Vậy một hải lí dài khoảng 1,85 km.
* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài.
 Hoàn thành các bài tập trong SBT
 Chuẩn bị bài mới: “Bài 2. Giá trị lượng giác của một góc lượng giác”.

Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
BÀI 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC (1 TIẾT)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
- Nhận biết khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác.
- Mô tả bảng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp; hệ thức cơ
bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác; quan hệ giữa các giá trị
lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối
nhau, hơn kém nhau π .
- Sử dụng máy tinh cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi
biết số đo của góc đó.
- Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng
giác.
2. Năng lực
Năng lực chung:
- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
Năng lực riêng:
- Tư duy và lập luận toán học, giải quyết vấn đề toán học: Nhận biết được khái
niệm giá trị lượng giác của góc lượng giác, vận dụng các hệ thức cơ bản của giá
trị lượng giác, quan hệ giữa các giá trị lượng giác có liên quan đặc biệt.
- Mô hình hóa toán học: Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng
giác của góc lượng giác.
- Giao tiếp toán học.
- Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

3. Phẩm chất
- Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng
nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học. Thông qua bài toán thực tế và
tích hợp Toán học với Vật lí để dẫn đến việc mở rộng khái iệm giá trị lượng giác cho
góc lượng giác.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS đưa ra dự đoán cho câu hỏi.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu
Hình bên biểu diễn xích đu IA có độ dài 2 m dao động quanh trục IO vuông góc với
trục Ox trên mặt đất và A' là hình chiếu của A lên Ox. Tọa độ s của A' trên trục Ox
được gọi là li độ của A và (IO ; IA)=α được gọi là li độ góc của A. Làm cách nào để
tính li độ dựa vào li độ góc?

- GV hướng dẫn HS tìm hiểu với góc α sao cho −90 o ≤ α ≤ 90 o .
+ Khi 0 o ≤ α ≤ 90o ta có thể biểu diễn góc α như sau

Tọa độ s mang dấu gì? Có độ lớn bằng độ dài đoạn nào? ( s>0 , s=O A' = AH =IAsin α )
+ Khi −90 o ≤ α ≤ 0o ta có thể biểu diễn góc α như sau

Tọa độ s mang dấu gì? Có độ lớn bằng độ dài đoạn nào? (
s<0 ,∨s∨¿ O A ' = AH =¿ IA . sin α ∨¿ ).
→ Ở đây không thể sử dung công thức của trường hợp trên để tính vì chưa có khái

niệm sin của góc âm. Có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho góc lượng giác
bất kì để thống nhất công thức tính.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi
hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS
vào bài học mới: “Bài học hôm nay chúng ta cùng đi tìm hiểu mối quan hệ giữa góc
lượng giác và tọa độ của điểm biểu diễn góc lượng giác đó và các tính chất liên
quan”.
Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác,
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các hoạt động khám phá, thực hành, vận dụng mục 1.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi, HS nhận biết và thể hiện được giá trị lượng giác.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao

1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

nhiệm vụ:

HĐKP 1:

- GV yêu cầu HS thảo luận
nhóm đôi, hoàn thành
HĐKP 1. GV hướng dẫn
+ Sử dụng kiến thức về giá
trị lượng giác của các góc
0 o ≤ α ≤ 180o , ta tính được tọa

độ x M ; y M theo
sin 120o ; cos 120o .

+ Dựng tam giác vuông
OHN vuông tại H. để tính
tọa độ điểm N ta phải tính
độ dài đoạn nào? (Tính
được NH và OH).

2π
∘
∘ −1
xOM = =120 . Do đó, x M =cos ⁡120 =
Ta có ^
và
3
2

(

)

3
−1 √ 3
y M =sin ⁡120∘= √ , hay M
;
.
2
2 2
π

xON = =45 nên △ OHN là tam giác vuông
Ta có ^
4
∘

cân với cạnh huyền ON =1.
2
Do đó OH =NH = √ . Vì N nằm trong góc phần tư
2

thứ IV, nên ta có x N =OH =
đó N

( √22 ;− √22 ).

Kết luận

√ 2 và y =−NH = −√ 2 . Do
N
2

2

Trên đường tròn lượng giác, gọi M là điểm biểu
diễn góc lượng giác có số đo α . Khi đó
+ Tung độ y M của M gọi là sin của α ,kí hiệu sin α .
+ Hoành độ x M của M gọi là côsin của α ,kí hiệu
- Từ đó GV giới thiệu giá trị
lượng giác của góc bất kì.
+ Nhấn mạnh: Điều kiện để
tang và côtang tồn tại.
- GV có thể lưu ý thêm:
+ Giá trị của sin α ,cos α thuộc
khoảng, đoạn giá trị nào?
(Thuộc đoạn [−1; 1]¿

cos α .
yM

sin α

+ Nếu x M ≠ 0 thì tỉ số x = cos α gọi là tang của α ,kí
M
hiệu tan α .
x

cos α
M
+ Nếu y M ≠ 0 thì tỉ số y = sin α gọi là côtang của α ,kí
M

hiệu cot α .
Các giá trị sin α ,cos α , tan α , cot α được gọi là các giá
trị lượng giác của góc lượng giác α .

Chú ý:
a) Ta gọi trục hoành là trục côsin, còn trục tung là
trục sin.
b) Trục As có gốc ở điểm A(1; 0) và song song với
trục sin gọi là trục tang.
Trục Bt có gốc là điểm B(0;1) và song song với trục
côsin gọi là trục côtang.

- GV giới thiệu về trục côsin,
trục sin, trục tang, trục

b) sin α và cos α xác định với mọi α ∈ R ;

côtang; đây là ý nghĩa về

tan ⁡α xác định khi α ≠

mặt hình học của các giá trị
lượng giác.
+ Khi có điểm M ( x M ; y M ) trên
đường tròn lượng giác, biểu
diễn góc α ; thì hoành độ và
tung độ của M lần lượt là
côsin và sin của góc α .
+ OM giao với trục tang tại
điểm H thì tung độ của H là

π
+kπ (k ∈ Z ).
2

cot ⁡α xác định khi α ≠ kπ (k ∈ Z ).

c) Với mọi góc lượng giác α và số nguyên k, ta có:
sin ( α +k 2 π ) =sin α ( k ∈ Z ) ;
cos ⁡(α +k 2 π )=cos ⁡α (k ∈ Z) .
tan ( α +kπ )=tan α (k ∈ Z).;
cot ⁡(α + kπ )=cot ⁡α( k ∈ Z ).

d) Bảng giá trị lượng giác của một số góc lượng
giác

tan α .

+ OM giao với trục côtang
tại K thì hoành độ của K là
cot α .

- GV giới thiệu điều kiện góc
để tan và cot xác định.
- GV đặt câu hỏi:
+ Góc α và α +k 2 π có điểm
biểu diễn như thế nào với
nhau?

Ví dụ 1 (SGK -tr.15)
Thực hành 1
−2 π

2π

+ Vì điểm biểu diễn của hai góc 3 và 3 trên

(Cùng điểm biểu diễn)

đường tròn lượng giác đối xứng nhau qua trục

Từ đó nêu mối quan hệ sin,

hoành, nên chúng có hoành độ bằng nhau và tung

cos giữa hai góc.

độ đối nhau.

+ GV hướng dẫn biểu diễn
góc α và α +kπ có điểm biểu
diễn là M và M' khi đó O,
M, M' thẳng hàng. Từ đó
nêu mối quan hệ giữa tan,
cot giữa góc α và α +kπ .
- GV giới thiệu một số giá trị
lượng giác của góc đặc biệt.

(−2 π )=−sin ⁡( 23π )= −2√ 3 .

Do đó, sin ⁡ 3

Vì 495 ∘=135∘+ 360∘ nên
∘

∘

tan ⁡495 =tan ⁡135 =

√2

∘

sin ⁡135
2
=
=−1
∘
cos ⁡135 −√ 2
2

2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy
tính cầm tay.
Ví dụ 2 (SGK – tr. 15)
Thực hành 2
cos ⁡75 ∘= √

- HS đọc hiểu Ví dụ 1. GV
hướng dẫn.
- HS thực hiện Thực hành
1.
+ HS biểu diển góc lượng
−2 π

giác 3 trên đường tròn,
xác định mối quan hệ với
2π
góc 3 .

+ Viết góc 495 ∘=135∘+ 360∘ .

(

)

6−√ 2
−19 π − √ 3
≈ 0,259 ;tan ⁡
=
≈−0,577.
4
6
3

- GV hướng dẫn HS tính giá
trị lượng giác bằng máy tính
cầm tay.
+ Lưu ý cách tính giá trị cot
thông qua cách tính giá trị
tan.
Bước 2: Thực hiện nhiệm
vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý
nghe, tiếp nhận kiến thức,
hoàn thành các yêu cầu, thảo
luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo
luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên
bảng trình bày
- Một số HS khác nhận xét,
bổ sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận
định: GV tổng quát lưu ý lại
kiến thức trọng tâm và yêu
cầu HS ghi chép đầy đủ vào
vở.
Hoạt động 2: Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

a) Mục tiêu:
- HS phát biểu được các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng
giác.
- HS vận dụng được các hệ thức cơ bản.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý
nghe giảng, thực hiện các hoạt động khám phá, thực hành mục 3.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi, vận dụng hệ thức cơ bản để tính giá trị lượng giác.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm

giác của một góc lượng giác

đôi, hoàn thành HĐKP 2.

HĐKP 2:

a) Trong Hình 5 , tam giác OMH vuông tại
H , ta có OH =cos ⁡α , MH=sin ⁡α và OM =1.

Áp dụng định lí Pythagore ta có
2
2
2
2
2
O H + M H =O M hay cos ⁡α +sin ⁡α =1.

b) Chia cả hai vế cho cos 2 ⁡α (cos ⁡α ≠ 0), ta có
- Từ đó GV giới thiệu một số công
thức lượng giác cơ bản.

2

1+ tan ⁡α=

1
.
cos 2 ⁡α

c) Chia cå hai vế cho sin 2 ⁡α (sin ⁡α ≠0), ta có
2

cot ⁡α +1=

1
.
2
sin ⁡α

Kết luận
2

2

sin α + cos α =1
2

- Áp dụng công thức ta tính ví dụ 3.
+ Để tính sin α khi biết cos α ta dùng
công thức nào?
+ Để xác định được dấu của sin α ta

1+ tan α =
2

(

1
π
α ≠ +kπ , k ∈ Z
2
2
cos α

1+cot α =

1
( α ≠ kπ , k ∈ Z )
2
sin α

(

tan α . cot α =1 α ≠

dựa vào điều gì?

Ví dụ 3 (SGK -tr. 17)

+ Để tính tan và cot ta làm thế nào?

Thực hành 3

kπ
,k∈Z
2

)

- Tương tự HS thực hiện Thực hành
3.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu
hỏi, hoàn thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.

()

2

1
2
13
2
=1+ tan ⁡α =1+
= . Suy ra
2
3
9
cos ⁡α

)

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ
vào vở.

3π

Vì π <α < 2 nên cos ⁡α < 0. Suy ra
cos ⁡α =

−3 √ 13
.
13
sin ⁡α

Vì tan ⁡α = cos ⁡α nên

(

)

2 −3 √ 13 −2 √ 13
sin ⁡α =tan ⁡α ⋅ cos ⁡α = ⋅
=
.
3
13
13

Hoạt động 3: Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt
a) Mục tiêu:
- HS phát biểu được mối liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc lượng giác liên
quan đặc biệt.
- HS vận dụng được mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các hoạt động mục 4.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi, vận dụng các mối liên hệ giữa giá trị lượng giác của góc lượng giác.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm

4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có

vụ:

liên quan đặc biệt

- GV yêu cầu HS thảo luận

HĐKP 3:

nhóm bốn, hoàn thành HĐKP
3.
+ Dựa vào điểm biểu diễn, tìm
mối quan hệ giữa tọa độ các
điểm.

−π

+) −α = 3

(−π3 )=−sin ⁡π3 ;cos ⁡( −π3 )=cos ⁡π3
−π
π
−π
π
tan ⁡(
=−tan ⁡ ; cot ⁡(
=−cot ⁡ .
)
)
3
3
3
3

sin ⁡

+¿ α + π=
sin ⁡

4π
π
4π
π
=−sin ⁡ ; cos ⁡ =−cos ⁡ ;
3
3
3
3

tan ⁡

4π
π
4π
4π
=tan ⁡ ;cot ⁡ =cot ⁡ .
3
3
3
3

+¿−α =
sin

4π
3

2π
3

2π
π
2π
π
=sin ; cos
=−cos ;
3
3
3
3

2π
π
2π
π
tan ⁡ =−tan ⁡ ; cot ⁡ =−cot ⁡ .
3
3
3
3
+¿

π
π
−α =
2
6

π
π
π
π
sin =cos ; cos =sin ;
6
3
6
3

π
π
π
π
tan ⁡ =cot ⁡ ; cot ⁡ =tan ⁡ .
6
3
6
3

Kết luận
a) Hai góc đối nhau α và −α
cos (−α ) =cos αsin (−α )=−sin α tan (−α ) =−tan α

- GV hướng dẫn HS vẽ hình các

cot (−α )=−cot α

trường hợp các góc liên quan
đặc biệt. Từ đó nêu mối quan
hệ.
- GV có thể nêu cách nhớ:
Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan
và cot hơn kém.

b) Hai góc hơn kém π : α và α + π
sin ( π +α )=−sin ⁡αcos ⁡(π +α )=−cos ⁡α tan ⁡( π +α )=tan ⁡α
cot ⁡(π + α)=cot ⁡α

c) Hai góc bù nhau α và π−α
sin ⁡(π −α )=sin ⁡αcos ⁡( π−α )=−cos ⁡α
tan ⁡( π−α )=−tan ⁡αcot ⁡(π −α )=−cot ⁡α

π

d) Hai góc phụ nhau α và 2 −α

( π2 −α )=cos αcos ⁡( π2 −α )=sin ⁡α

sin ⁡
tan

( π2 −α )=−tan ⁡αcot ( π2 −α )=−cot ⁡α

Ví dụ 4 (SGK -tr.18)
Thực hành 4
a)

cos ⁡638∘=cos ⁡( −82∘+2 ⋅360∘ )=cos ⁡(−82∘ ) =cos ⁡82∘=sin ⁡( 90∘−82∘ ) =si

;

(

)

( )

19 π
π
−π
π
b) cot ⁡ 5 =cot ⁡ 4 π− 5 =cot ⁡ 5 =−cot ⁡ 5 .

Vận dụng

- HS thực hiện Ví dụ 4. GV
hướng dẫn HS viết theo các góc
liên quan đặc biệt.
- HS làm Thực hành 4.

- HS thảo luận nhóm đôi thực
hiện Vận dụng.
+ a) Chiều cao từ B đến mặt đất
bằng độ dài đoạn nào? Tính
theo tọa độ các điểm?
+ b) sử dụng công thức đã có ở
câu a, xét trường hợp góc α
thuộc góc phần tư thứ III và IV.
...