TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

CHƯƠNG V. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

§1. Quy tắc cộng. Quy tắc
nhân
§2. Hoán vị. Chỉnh hợp
§3. Tổ hợp
§4. Nhị thức Newton

TOÁN THPT

TOÁN HỌC

➉
1
2
3

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
CHƯƠNG V. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
§3

TỔ HỢP

ĐỊNH NGHĨA
SỐ CÁC TỔ HỢP
k
SỐn

TÍNH CHẤT CỦA CÁC C

TOÁN THPT

1

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

ĐỊNH NGHĨA

Khởi động

Đội tuyển bóng bàn nam của trường có 4 bạn An, Bình,
Cường, Dũng. Huấn luyện viên muốn chọn 2 bạn để tạo
thành một cặp đấu đôi nam.

a) Nêu 3 cách chọn cặp đấu.
b) Mỗi cặp đấu là một tập con gồm
bao nhiêu phần tử được lấy ra từ
tập hợp gồm 4 bạn nói trên?
c) Có bao nhiêu cách chọn cặp đấu?

n

TOÁN THPT

1

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

ĐỊNH NGHĨA

n
Cho tập hợp A gồm
k

với

k
1
£
k
£
n
.
phần tử và một số nguyên

n

k
n
Mỗi tập con gồm phần tử được lấy ra từ
Câu
hỏi
tử của

A được gọi là một tổ hợp chập

phần tử đó.

phần
của

TOÁN THPT

1

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

ĐỊNH NGHĨA

Ví dụ 1 Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh,

áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi
du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.
GIẢI

Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:
{áo vàng; áo xanh}, {áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu},
{áo xanh; áo trắng}, {áo xanh; áo nâu}, {áo trắng; áo nâu}.

TOÁN THPT

1

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

ĐỊNH NGHĨA

HĐ 1

Viết tất cả các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c.
GIẢI

Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là:
{a; b}, {a; c}, {b; c}.

TOÁN THPT

2

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

SỐ CÁC TỔ HỢP
Câu hỏi

Cho tập hợp A = {a,b, c, d, e}.

Nhóm 1: Nêu cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A .
Nhóm 2: Nêu cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A .
Nhóm 3: So sánh cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử
trong A với cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A .

TOÁN THPT

2

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

SỐ CÁC TỔ HỢP

Mỗi tổ hợp chập 3 của 5 phần tử sinh ra 3! chỉnh hợp chập 3 của 5 phần
tử vì có 3! hoán vị của 3 phần tử. Vì thế số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần
tử nhiều gấp 3! lần số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.

TOÁN THPT

2

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

SỐ CÁC TỔ HỢP

Nhận xét
Số chỉnh hợp chập

n
của phần tử đó.

kcủa nphần tử nhiều gấp klần số tổ hợp chập k

Công thức 1

C
Ký hiệu
là số tổ hợp chập k của n phần tử với 1£ k £ n.
k
An
k
C
=
n
Ta có:
k!
k
n

TOÁN THPT

2

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

SỐ CÁC TỔ HỢP

n!
Chứng minh C =
với 1£ k £ n.
k!(n - k)!

Ví dụ 2

k
n

GIẢI

n
...
n

k

1
(
n

k
)...2.1
n
!


k

Ta có: A n n n  1...n  k  1 
n  k !
n  k ...2.1
k
n

A
n!
Do đó: C 

k ! k !n  k !
k
n

TOÁN THPT

2

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

SỐ CÁC TỔ HỢP
Quy ước

Công thức
2

0
n

0!= 1; C = 1.

Với quy ước trên ta có công thức:
n!
k
với 0 £ k £ n.
Cn =
k!(n- k)!

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

SỐ CÁC TỔ HỢP

2

Ví dụ 3

Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.
a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?
c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?

Trả lời

a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó
có C

3
18 cách

chọn.

b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do
đó có C

5
20 cách

chọn.

c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là:
3
18

5
20

C .C 816.15504 12651264.

TOÁN THPT

1

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

ĐỊNH NGHĨA

HĐ 2

Trong buổi tập huấn cho các bí thư chi đoàn có 10 bạn nam. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi?
GIẢI

Mỗi cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi là một tổ hợp
3
chập 3 của 10 phần tử, do đó có C10 cách chọn.

TOÁN THPT

2

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

SỐ CÁC TỔ HỢP

Ghi nhớ

Ví dụ:

Cách tính số các tổ hợp bằng máy tính cầm tay:
Dùng nút tổ hợp: nCr

TOÁN THPT

2

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

SỐ CÁC TỔ HỢP

HĐ 3

Dùng máy tính cầm tay để tính: a) C

Kết quả:
a) 5 200 300;
b) 155 117 520.

13
25

15
30

b) C .

TOÁN THPT

3

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

TÍNH CHẤT CỦA CÁC SỐ C

k
n

Hoạt động Tính và so sánh:
2
5

3
5

2
5

3
5

3
6

3
6

4
6

3
6

4
6

4
7

Nhóm 1: C ;C ;C + C ;C .
Nhóm 2: C ;C ;C + C ;C .

Kết quả:
2
5

3
5

2
5

3
5

3
6

Nhóm 1: C = 10;C = 10;C + C = 20;C = 20.
3
6

4
6

3
6

4
6

4
7

Nhóm 2: C = 20;C = 20;C + C = 40;C = 40.
Dự đoán trường hợp tổng quát?

TOÁN THPT

3

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

TÍNH CHẤT CỦA CÁC SỐ C
Hoạt động

k
n

Cho hai số tự nhiên n và k .
k
n

n k
n

với 0 k n.

k1
n 1

k
n 1

1

k

n
.
C
và
với

a) So sánh C và C

C
b) So sánh

Kết quả:
k
n

n k
n

a) C C .
k1
n 1

b) C  C

k
n 1

k
n

C .

C

k
n

TOÁN THPT

3

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

TÍNH CHẤT CỦA CÁC SỐ C

k
n

Ghi nhớ
Ta có hai đẳng thức sau:
k
n

C C
C

k1
n 1

n k
n

C

(0 k n).

k
n 1

C 1 k n .
k
n

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1
Lớp 11A có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu
cách chọn một đôi song ca gồm 1 nam và 1 nữ?
A. 45.
B. 500.
2
45

C
.
C.
D. 900.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2
Trong giỏ có 12 quả bóng xanh và 8 quả bóng đỏ, có bao
nhiêu cách chọn ra 3 quả bóng trong đó có 2 bóng xanh và 1
bóng đỏ?
A. 238.
B. 60.
C. 528.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 3

Từ một bó hoa gồm 8 bông hồng vàng và 6 bông hồng xanh, có
bao nhiêu cách chọn ra ba bông hồng sao cho có đúng hai bông
hồng

3
vàng?
14

C .
1
8

A.C
B.C

.C .

2
8

C .

2
8

1
6

C.C
D.

2
6

1
6

.C .

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

Định nghĩa

TỔ HỢP

Số các tổ hợp

Tính chất của các số C

k
n

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
BÀI
BÀI TẬP
TẬP SÁCH
SÁCH GIÁO
GIÁO KHOA
KHOA

BÀI 1/5
Cho 8 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu
tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho?
Bài giải

Mỗi cách chọn ra 3 điểm để tạo thành 1 tam giác là một tổ hợp chập
3
3 của 8 phần tử,Cdo
cách chọn.
8 đó có
3
=
56.
Số tam giác có thể tạo thànhClà:
8

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

BÀI 2/5
Có 10 đội tham gia một giải bóng đá. Có bao nhiêu cách xếp trận đấu
vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần?
Bài giải

Mỗi cách chọn ra 2 đội chỉ gặp nhau đúng 1 lần là một tổ hợp chập 2
2
C10tổ=chức
45 là
của 10 phần tử, do đó số trận đấu cần phải
trận
45!
đấu.
Số cách xếp các trận đấu theo thứ tự là:

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

BÀI 3/5
Khối 10 có 16 bạn nữ và 18 bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa
hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có
cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy?
Bài giải
1
có:
16
2
có:
16

2
18
1
18

C .C 2448
cách chọn.
• TH2: 2 bạn nam, 1 bạn nữ C .C 2160
cách chọn.
2448
Số cách lập tổ trồng cây TMYC bài toán
là:  2160 4408
• TH1: 1 bạn nam, 2 bạn nữ

cách.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

BÀI 4/5
Một quán nhỏ bày bán hoa có 50 bông hồng và 60 bông cúc. Bác Ngọc
muốn mua 5 bông hoa gồm cả 2 loại hoa trên. Bác Ngọc có bao nhiêu
Bài giải
cách chọn hoa?
• TH1: 1 bông hồng 4 bông cúc

1
có:
50
2
có:
50
3
có:
50
4
có:
50

4
60
3
60
2
60
1
60

C .C 24381750

• TH2: 2 bông hồng 3 bông cúc C

.C 41919500
• TH3: 3 bông hồng 2 bông cúc C .C 34692000
• TH4: 4 bông hồng 1 bông cúc C .C 13818000
Vậy bác Ngọc có số cách chọn hoa là:

cách chọn.
cách chọn.
cách chọn.
cách chọn.

24381750  41919500  34692000 13818000 114811250.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

BÀI 5/5

Tính tổng:C

12
15

13
15

+C +C

14
16

Bài giải

Ta có:

17!
C +C +C = C +C = C =
14!.(17- 14)!
17!
17.16.15.14! 17.16.15
=
=
=
= 680.
14!.3!
3!.14!
1.2.3
12
15

13
15

14
16

13
16

14
16

14
17

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1

Cho 10 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu
đường thẳng khác nhau tạo bởi 2 trong 10 điểm nói trên?
A. 90.

B. 20.

C. 45.

D. 30.

Trả lời
Số đường thẳng tạo thành chính bằng số tổ hợp chập 2 của 10 phần
2
tử (điểm).
C10 = 45
Như vậy, ta có

đường thẳng.

=> Chọn C.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 2

Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người trong
ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người
trong ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn?
A. 25.

B. 42.

C. 50. D. 35.

Trả lời
Vì không xét đến sự phân biệt chức vụ của 3 người trong ban thường
vụ nên mỗi cách chọn ứng với một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.

C
Như vậy, ta có

3
7

= 35

cách chọn ban thường vụ. => Chọn D.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 3

Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để
tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn
như trên?
A. 9880.

B. 52280.

C. 455.

D.2300.

Trả lời
Nhóm học sinh 3 người được chọn (không phân biệt nam, nữ - công
việc) là một tổ hợp chập 3 của 40 (học sinh).
3
là:
40

Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinhC

= 9880.

=> Chọn A.

TOÁN THPT

Câu 4

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách
chọn 5 bạn học sinh sao cho trong đó có đúng 3 học sinh nữ?
A. 119700

B. 4500 C. 1245.

D. 110790.

Trả lời
3
là:
20

Số cách chọn ra 3 học sinh nữ C = 1140
cách.
2
Clà:
Số cách chọn ra 2 bạn học sinh nam
cách.
15 = 105
Số cách chọn 5 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
1140.105= 119700
cách. => Chọn A.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 5

Một túi đựng 6 bi trắng, 6 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy
mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu.
A. 300.
Trả lời

B. 330.

C. 320.

D. 310.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 6

Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5
học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số
học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?
A. 85.

B. 58.

C. 508.

D. 805.

Trả lời
Số cách chọn 6 học sinh bất kì trong 12 học

6
sinh
12 là:

C

cách.

6
10
7
6
8
6
11
9

C
Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối
cách.
C

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khốiC
cách.C 6 - (C 6 + C 6 + C 6 ) = 805
12

7

8

9

là:
là:

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 12 là:

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 7

Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường
tổ chức cho học sinh cắm trại. Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh
nữ. Giáo viên cần chọn 5 học sinh để trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ? Biết rằng học sinh nào
5
5
5
5
5
5
trong lớp cũng
C19. có khă năng
C16.
C trang
- C trí
. trại. C 35 - C16.

A.

35

B.

19

C.

D.

Trả lời
Tổng số học sinh lớp 10A là 35.
5
Có C 35 cách chọn 5 học sinh từ 35 học sinh lớp 10A.
5
Có C19 cách chọn 5 học sinh từ 19 học sinh nam của lớp 10A.
5
5
Do đó cóC 35 - C19
cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất một
học sinh nữ. => Chọn B.

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 8

Từ 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta
tạo thành các đề thi. Biết rằng trong đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong
đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được
bao nhiêu đề như trên ?
A. 69.

B. 88.

C. 96.

D. 100.

Trả lời
Theo bài ra, một đề thi gồm 3 câu hỏi vừa có câu hỏi lý thuyết vừa có
câu hỏi bài tập nên ta xét:
1
này
4
2
này
4

2
có
6
1
có
6

TH1: Đề thi gồm 1 câu lý thuyết, 2 câu bài tập. TH C .C

TH2: Đề thi gồm 2 câu lý thuyết, 1 câu bài tập. TH C .C
Vậy có thể tạo
toán.

1
được4

2
6

2
4

1
6

C .C +C .C = 96

đề.
đề.

đề thi thỏa mãn yêu cầu bài

TOÁN THPT

Câu 9

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Đội văn nghệ của một nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học
sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh
từ đội văn nghệ đó để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất
2 học sinh lớp 12A?
A. 80.
Trả lời

B. 78.

C. 76.

D. 98.

TOÁN THPT

Câu 10

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Thầy giáo A có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu
hỏi trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao
nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong
mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 loại câu hỏi và số câu dễ không
ít hơn 2 ?

Trả lờiA. 56875.

B. 42802. C. 41811. D. 32023.

• TH1: 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu
cách.

2
5
1
5
1
5

C .C .C 10500
C .C .C 23625

C .C .C 22750
10500  23625  22750 56875

• TH2: 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu
cách.

2
1
khó 15
có:10
2
2
15
10
3
1
khó 15
có: 10